一橋大学（数学）入試問題分析

2014年度　一橋大学　数学入試問題分析

赤星が担当します。

整数論・確率の問題が厳しめなのは，「一橋らしさ」そのものである。今年も，第1問の整数論と第5問小問（3）の確率は，受験生に真っ向から挑んできた。講師としては，大変面白く解かせてもらっているが，一橋の数学は本当に一朝一夕ではどうにもならない。全体を通していえば，第2問，第4問は割かし平易であるので，ここで確実に得点をとり，第3問と第5問で小問の前半は確実に解答すれば，合格点は十分確保できるはずではある。「あきらめたらそこで終わり」ですよ。

［第1問］
素数で偶数のものは，2以外にないこと（他の素数はすべて奇数であること）から，a,b,cの偶数・奇数の別によって絞り込んでいくこととなる。
a-b-8>0かつb-c-8>0から，a,bは共に8以上ということに気づければ，それほど絞りこみはきつくないが，試験会場でそれを受験生に求めるのは難しい。

そこで，「受験生らしい発想」を想定してみる。

まず，第1式だけに注目すれば，a-b-8が素数であることから，①a-b-8=2 or ②a-b-8=奇数の素数ということになる。
次に，第2式を見ると，b-c-8が素数ということになるが，この式からも第1式と同様の帰結③b-c-8=2 or ④b-c-8=奇数の素数が導かれる。
そこで，この①～④がどのように両立し，どのように両立し得ないのか，を考えていくとよい。

①の場合，a,bは共に偶奇は一致したものでなければならない。そして，共に2であることはありえないことも明らかであるから，結局，共に奇数の素数である。
そして，かかる場合に，③，④はどうなるだろうか，というような順で考えていくとよかろうか（その過程で，いろいろ試行錯誤することにはなるが，cがそれほど大きくなることはありえず，結局2と3になることも発見できるであろう）。

［第2問］
ひねりはなく，粛々と微積分の計算をすればよい。全受験生完答すべし！

［第3問］
新高校3年生からは，数IIIで複素数平面が13年ぶりに復活（2001年までは数学Bで扱っていた）しているが，円上の作業で，回転とかは複素数平面で楽しく分析できる。どうも，今回は，作問の原点にあるように思われてしかたない。もっとも，今年の受験生はそれを知らないから，図形と式，三角関数で頑張るしかない。
（１），（２）はなんとか食らいついてほしい。
（３）は円上の点を座標でおくことになるが，ここで，(sin α,cos α)とおけたか（パラメータをαの1文字にする！）である。もっとも，難関受験生であれば，どこかでたたき込まれているはず・・・ですよね。

［第4問］
球になにか立体が内接する問題など，どこぞでいつも出題されているので，余裕だった・・・といえるようになってほしい。一橋では90年代に出題されていたし，東大も2001年で似たような問題が出ている（そっちのほうが難しいかな）。志望校及び同レベル大学の過去問20年分くらい解くのは当たり前？ですよね。

［第5問］
（１），（２）で実験（部分点かせぎ）し，（３）につなげる典型的な形式・・・だが，（３）に実験の成果を生かせるか，である。
結局，表がn-3回以上でないとどうしようもないことが見抜けたら，あとは，4パターン（表がn,n-1,n-2,n-3回）の計算をするだけなのだが，表がn-3回以上ということが運面の分かれ道ともいえるし，それほど実験から自明なわけではないので，頭の柔らかさは要求される。